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Divisibilidad

Se dice que un número entero a es divisible por otro entero b si a puede expresarse como k veces b. De forma más simple si a = kb, donde k también es entero. Para algunos es más compresible decir que a es divisible exactamente por b (recuerde que la división exacta es aquella donde el residuo es cero)

Ejemplos

Si un número N es divisible por 3 es porque N = 3k
Así 21 es divisible por 3 ya que 21 = 3x7 donde k es 7

Criterios de Divisibilidad


Son aquellos que nos permiten saber si un número dado es divisible o no por otro sin necesidad de realizar la división.

En este artículo presentaremos criterios para saber si un número dado es divisible por 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17 y demostrando cada caso. El procedimiento de las demostraciones será mostrar que si N cumple el criterio que se establezca será múltiplo de cualquier número a si podemos escribir a N como N=ak donde k es una constante entera cualquiera. Si N es múltiplo de 5 es porque pude demostrarse que N =5k.

Note que la lista de números dada son los 7 primeros números primos y con estos pueden construirse otras reglas o criterios. Por ejemplo un número es divisible por 6 si es a su vez divisible por 2 y 3 ya que 6 = 2x3.


Divisibilidad por 2


Un número N es divisible por 2 si N termina en 0 o cifra par (2,4,6 y 8)

Ejemplos

2340 es divisible por 2 ya que termina en cero, de hecho 2340 = 2x1170 456 es divisible por 2 ya que 6 es cifra par. En este caso 456 = 2x228

Demostración de la divisibilidad por 2


Sea N un número de n+1 cifras de base diez que puede escribirse como cncn-1…c2c1c0 Donde cada cn representa un dígito del número N con c0 como la cifra de las unidades, c1 las decenas, c2 las centenas y así sucesivamente. N puede expresarse como


Representación de N en base 10

Como ilustración

Representación de 8362 en base 10

Si N termina en cero es porque c0=0
Luego

Representación de N en múltiplos de 2 y 5 con ultima cifra 0

Lo que se encuentra dentro de las llaves es un número k cualquiera Por tanto N = 2k, se concluye que N es divisible por 2 ya que se puede escribir de esta forma cuando el último dígito es cero.


En el caso que c0 es par es porque c0 = 2k0 donde k0 puede ser 1,2, 3 o 4

Representación de N en múltiplos de 2 y 5 con ultima cifra par

Al igual que anteriormente se concluye que N = 2k cuando el último dígito es par. Por tanto N es divisible por 2.


Divisibilidad por 3


Un número N es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

Ejemplos

1632 es divisible por 3 ya que 1+6+3+2 = 18 que es múltiplo de 3 (18 = 3x6), de hecho 1632 = 3x544

Si por alguna razón el número que resulta de la suma de dígitos es un número de 3 dígitos o mayor o que aparentemente no es múltiplo de 3 el criterio puede repetirse nuevamente. Si en ejemplo anterior no supiéramos que 18 es múltiplo de 3 puede verificarse que 1+8=9 que es múltiplo de 3 (9 es claramente un múltiplo) pero obviamente no era necesario aplicar aquí el criterio.



Demostración de la divisibilidad por 3


Sea N un número de n+1 cifras de base diez que puede escribirse como cncn-1…c2c1c0 Donde cada cn representa un dígito del número N con c0 como la cifra de las unidades, c1 las decenas, c2 las centenas y así sucesivamente. N puede expresarse como

Representación de N en base 10 simplificada

Cualquier potencia n de el número10 puede expresarse como 3kn+1 donde kn representa un número de n cifras todas iguales a 3. Así por ejemplo 103 que equivale a 999+1 también puede representarse como 3(333)+1 con k3=333
Luego

Representación de N con 3k mas 1

Reorganizando

Representación de N con 3k mas 1 organizado

En el caso que cn+cn-1+….+c2+c1+c0 sea múltiplo de 3 podemos escribir que cn+cn-1+….+c2+c1+c0 = 3ka donde ka es un entero cualquiera

Representación de N como múltiplo de 3

Luego N = 3k al reemplazar el paréntesis por k. De esta forma tenemos que N es múltiplo de 3 que era lo que se quería demostrar.

Divisibilidad por 5


Un número N es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.

Ejemplos


1655 es divisible por 5 ya que termina en 5. De hecho 1655=5x331

Demostración de la divisibilidad por 5


Sea N un número de n+1 cifras de base diez que puede escribirse como cncn-1…c2c1c0 Donde cada cn representa un dígito del número N con c0 como la cifra de las unidades, c1 las decenas, c2 las centenas y así sucesivamente.
N puede expresarse como

Representación de N en base 10 simplificada

Si c0=0

Representación de N en multiplos de 2 y 5 para la divisibilidad por 5 con ultima cifra 0

N = 5k, luego N es múltiplo de 5 si el último dígito es cero

Si c0=5

Representación de N en múltiplos de 2 y 5 para la divisibilidad por 5 con ultima cifra 5

N es nuevamente de la forma 5k, luego el número es divisible si finaliza en 5.


Divisibilidad por 7


Un número N es divisible por 7 si al tomar el doble de la última cifra de la derecha y restarla al número que resulta de quitar dicha cifra el resultado es cero o un múltiplo de 7.

Ejemplos

259 es divisible por 7 ya que si se realiza la operación 25-2x9 = 7 que es múltiplo. De hecho 259 = 7x37 Verifiquemos si 1015 es divisible por 7. Hagamos la operación de verificación 101-2x5 = 91 que es múltiplo (recuerde que 91 = 7x13). Por tanto 1015 es divisible por 7 (1015 = 7x145)


Demostración de la divisibilidad por 7


Sea N un número de n+1 cifras de base diez que puede escribirse como cncn-1…c2c1c0 Donde cada cn representa un dígito del número N con c0 como la cifra de las unidades, c1 las decenas, c2 las centenas y así sucesivamente.
N puede expresarse como

Representación de N en base 10 simplificada

Sea M un número de n cifras de base de diez que se escribe como cncn-1…c2c1 que resulta de eliminar c0 de N

Representación de M en base 10 para la divisibilidad por 7

Luego podemos establecer la igualdad N = 10M + c0 (*)

Si M – 2c0 = 0 (de acuerdo con la hipótesis) tenemos que M = 2c0
Sustituyendo en (*) se tiene N = 10(2c0) + c0
Luego N = 21c0 que puede escribirse como N = 7(3c0). Si tomamos 3c0 = k
Obtenemos que N es múltiplo de 7 puesto que puede escribirse como N=7k

Si M – 2c0 = 7ka (de acuerdo con la hipótesis la diferencia entre M y 2c0 es múltiplo de 7) se tiene que M = 7ka + 2c0
Sustituyendo en (*) se tiene N = 10(7ka + 2c0 ) + c0
Luego N = 70ka + 20c0 + c0 que puede simplificarse como N = 70ka + 21c0
Podemos escribirlo como N = 7 (10ka + 3c0 ). Si tomamos 10ka + 3c0 = k
Concluimos que N es múltiplo de 7 puesto que puede escribirse como N = 7k


Divisibilidad por 11


Un número N es divisible por 11 si a la suma de las cifras de posición par se le resta la suma de las cifras de posición impar y se obtiene 0 o un múltiplo de 11.

Ejemplos

9856 es múltiplo de 11 pues si tomamos la suma de las cifras de posición par (8 + 6 = 14) y la suma de las cifras de posición impar (9 + 5 = 14) y las restamos obtenemos cero (14 – 14 = 0). De hecho 9856 = 11x896
616 es múltiplo de 11. La suma de las cifras de posición par es 1 ya que solo tenemos una cifra par, la suma de las cifras de posición impar es 6 + 6 = 12 si tomamos la resta (en este caso -11) obtenemos un múltiplo de 11 (que no importa que sea negativo). En este ejemplo es fácil comprobar que 616 = 11x56


Demostración de la divisibilidad por 11


Sea N un número de n+1 cifras de base diez que puede escribirse como cncn-1…c2c1c0 Donde cada cn representa un dígito del número N con c0 como la cifra de las unidades, c1 las decenas, c2 las centenas y así sucesivamente.
N puede expresarse como

Representación de N en terminos de 11 menos-1

Las potencias de 11 – 1 (que es la transformación escogida para 10) las podemos analizar gracias a la fórmula del binomio de newton Pero primero recordemos que dice su fórmula

Binomio de Newton

Para el caso particular de (11 – 1)n

Binomio de Newton para 11 menos 1 a la n

Lo que se encuentra entre los corchetes puede ser un número cualquiera kn Por tanto

11-menos 1 a la n

Si n es par el – 1 suma y si es impar resta
Luego podemos representar a N como

Representación de N en términos de 11k mas 1

Esto suponiendo que el número tiene un número par de cifras (puede suponerse impar y cambia la forma como resta el 1 en cn , la demostración es análoga por tanto solo se toma este caso)

Podemos reagrupar todo para mostrar el número como

Transformación de N en términos de 11k mas 1 con cifras pares restando

Ahora simplificamos el número sustituyendo el primer paréntesis por un entero cualquiera que podemos denominar como ka y separamos los dígitos que suman de los que restan en el segundo paréntesis (así obtenemos la suma de los dígitos de posición par menos la suma de los dígitos de posición impar)

Representacion de N en términos de 11k mas 1 con cifras pares restando

Si los dos paréntesis suman cero como se expone en la hipótesis entonces N = 11ka , por tanto el número es múltiplo de 11 ya que es de la forma 11k.


Divisibilidad por 13


Un número N es divisible por 13 si al tomar la última cifra de la derecha multiplicada por 9 y restar esta cantidad al número que resulta de quitar dicha cifra el resultado es cero o un múltiplo de 13.

Ejemplos

273 es divisible por 13 ya que si se realiza la operación 27-3x9 = 0.
De hecho 273 = 13x21
Verifiquemos si 1287 es divisible por 13. Hagamos la operación de verificación 128 -7x9 = 65 que es múltiplo (recuerde que 65= 13x5). Por tanto 1287 es divisible por 13 (1287 = 13x99)


Demostración de la divisibilidad por 13


Sea N un número de n+1 cifras de base diez que puede escribirse como cncn-1…c2c1c0 Donde cada cn representa un dígito del número N con c0 como la cifra de las unidades, c1 las decenas, c2 las centenas y así sucesivamente.
N puede expresarse como

Representacion de N en base 10 simplificada

Sea M un número de n cifras de base de diez que se escribe como cncn-1…c2c1que resulta de eliminar c0 de N

Representación de M en base 10 para la divisibilidad por 13

Luego podemos establecer la igualdad N = 10M + c0 (*)

Si M – 9c0 = 0 (de acuerdo con la hipótesis) tenemos que M = 9c0
Sustituyendo en (*) se tiene N = 10(9c0) + c0
Luego N = 91c0 que puede escribirse como N = 13(7c0). Si tomamos 7c0 = k
Obtenemos que N es múltiplo de 13 puesto que puede escribirse como N=13k

Si M – 9c0 = 13ka (de acuerdo con la hipótesis la diferencia entre M y 9c0 es múltiplo de 13) se tiene que M = 13ka + 9c0
Sustituyendo en (*) se tiene N = 10(13ka + 9c0) + c0
Luego N = 130ka + 90c0 + c0 que puede simplificarse como N = 130ka + 91c0
Podemos escribirlo como N = 13 (10ka + 7c0). Si tomamos 10ka + 7c0 = k
Concluimos que N es múltiplo de 13 puesto que puede escribirse como N = 13k


Divisibilidad por 17


Un número N es divisible por 17 si al tomar la última cifra de la derecha multiplicada por 5 y restar esta cantidad al número que resulta de quitar dicha cifra el resultado es cero o un múltiplo de 17.

Ejemplos

544 es divisible por 17 ya que realizando la operación 54-5x4 obtenemos 34 como resultado, que es múltiplo de 17 (34 = 17x2). De hecho 544 = 17x32 Verifiquemos si 1683 es divisible por 17. Hagamos la operación de verificación 168 -5x3 = 153 que es múltiplo (153= 17x9). Por tanto 1683 es divisible por 17 (1683 = 17x99)


Demostración de la divisibilidad por 17


Sea N un número de n+1 cifras de base diez que puede escribirse como cncn-1…c2c1c0
Donde cada cn representa un dígito del número N con c0 como la cifra de las unidades, c1 las decenas, c2 las centenas y así sucesivamente.
N puede expresarse como

Representación de N en base 10 simplificada

Sea M un número de n cifras de base de diez que se escribe como cncn-1…c2c1 que resulta de eliminar c0 de N

Representación de M en base 10 para la divisibilidad por 17

Luego podemos establecer la igualdad N = 10M + c0 (*)

Si M – 5c0 = 0 (de acuerdo con la hipótesis) tenemos que M = 5c0
Sustituyendo en (*) se tiene N = 10(5c0) + c0
Luego N = 51c0 que puede escribirse como N = 17(3c0). Si tomamos 3c0 = k
Obtenemos que N es múltiplo de 17 puesto que puede escribirse como N=17k

Si M – 5c0 = 17ka (de acuerdo con la hipótesis la diferencia entre M y 5c0 es múltiplo de 17) se tiene que M = 17ka + 5c0
Sustituyendo en (*) se tiene N = 10(17ka + 5c0) + c0
Luego N = 170ka + 50c0 + c0 que puede simplificarse como N = 170ka + 51c0
Podemos escribirlo como N = 17 (10ka + 3c0). Si tomamos 10ka + 3c0 = k
Concluimos que N es múltiplo de 17 puesto que puede escribirse como N = 17k

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Referencias